Question

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：

Answer 1

解：（I）设函数g(x)=f(x)+x，则g(0)=f(0)+0=0，g(1)=f(1)+1=2。根据介值定理，（定理大意：如果函数f(x)在(a,b)内连续，且f(a)=M>f(b)=m，则存在c∈(a,b)使得f(c)∈(m,M)。）则在（0,1）存在g(ζ)=f(ζ)+1=2，所以，f(ζ)=1-ζ。
（II）由（I）存在a∈﹙0，1﹚
使得
；f﹙a﹚＝1－a。
则根据拉格朗日中值定理，（定理大意，函数f(x)在[a,b]内连续可导，则存在c∈﹙a,b)，使得
f'﹙c)=(f(a)-f(b))/(a-b)。）在x∈﹙0，a)，存在ζ∈﹙0，a)，使得f'﹙ζ﹚=(f(a)-f(0))/(a-0)=(1-a)/a。同理，在x∈﹙a，1)，存在ζ∈﹙a，1)，使得f'﹙η﹚=(f(1)-f(a))/(1-a)=(1-(1-a))/a=a/(1-a)。所以，f'﹙ζ﹚f'﹙η﹚=(1-a)/a*a/(1-a)=1

Answer 2

设g(x)
=
e^(-x²)·f(x).
则g(x)在[0,1]连续,
在(0,1)内可导,
且g(0)
=
0
=
g(1).
由rolle定理,
存在ξ∈(0,1)使得g'(ξ)
=
0.
即有e^(-ξ²)·f'(ξ)-2ξe^(-ξ²)·f(ξ)
=
0.
而e^(-ξ²)
≠
0,
故f'(ξ)
=
2ξf(ξ).

Answer 3

微分方程学过没
y`+(2+x/x)y=0
那么同时乘以e^[∫(2+x/x)dx]=x^2e^x
所以构造函数F(x)=x^2e^xf(x)
则F`(x)=e^x[x^2f(x)+2xf(x)+x^2f`(x)]
(因为x>0可以提出一个x)
就化为F`(x)=xe^x[xf(x)+2f(x)+xf`(x)]