Question

设fx为定义在(-l,l)内的奇函数,若fx在(0,l)上单调递增，证明fx在(-l,0)也单调

加

Answer 1

证:∵f(x)在(0,l)内单调增加 设0<x1<x2<1所以f(x1)<f(x2)∵f(x）是在(-l,l)奇函数 所以f(x)=-f(-x)∴f(x1)<f(x2)可以变形为-f(-x1)<-f(-x2)也就是f(-x2)<f(-x1)∵0<x1<x2<1,所以 -1<-x2<x1<0∴f(x)在(-l,0)内也单调增加

任取m,n，满足0<m<n<l，则-l<-n<-m<0
由题意有
f(m)<f(n)
即
-f(-m)<-f(-n)
f(-m)>f(-n)
所以
在(-l,0)内也单调增加。