Question

假设随机变量X和Y独立同分布,均服从标准正态分布,试证明:Z1=X+Y与Z2=X-Y相

假设随机变量X和Y独立同分布,均服从标准正态分布,试证明:Z1=X+Y与Z2=X-Y相互独立

Answer 1

∵X，Y独立，且服从标准正态分布，
∴(X，Y)~N(0，1；0，1；0)
【二维正态分布】
∴(X+Y，X-Y)也服从二维正态分布
且E(X²)=D(X)+E²(X)=1
E(Y²)=D(Y)+E²(Y)=1
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2
E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0
E[(X+Y)(X-Y)]
=E(X²-Y²)
=E(X²)-E(Y²)
=0
∴Cov(X+Y，X-Y)
=E[(X+Y)(X-Y)]-E(X+Y)·E(X-Y)
=0
∴Z1=X+Y，Z2=X-Y相互独立