Question

牛顿迭代法解非线性方程组

Answer 1

一元非线性方程的牛顿迭代公式和原理
以一元非线性方程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进行Taylor级数展开（只展开至线性项）得
f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)
所以方程可写成
f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0
其中x0是给定的已知值，则不难推导出方程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）
x = x0 - f(x0) / f'(x0)
其中x不是真实解，但是相比之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复几次上述过程，从而使得到的解非常接近准确值。所以，对于一元非线性方程，牛顿拉夫逊迭代公式为：
x(k+1) = x(k) - f(x(k))/ f'(x(k))

根据Taylor级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解f(x)=0的过程。

第一次迭代x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)，其中f(x0)/ f'(x0)的几何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。第二次迭代x2= x1 - f(x1)/ f'(x1)，其中f(x1)/ f'(x1)的几何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。