Question

设函数f(x)=x|x-a|-2

(1)当a=1时,解不等式f(x)＜|x-1|
(2)当x∈﹙0,1]时,f(x)＜1/2 x^2-1恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=x|x-a|(X属于[0,1])的最大值是(a^2)/4,求实数a的取值范围

解析：因为，分段函数：
f(x)=ax-x^2 (x<a)
f(x)=x^2-ax (x>=a)
当x<a时，f(x)为开口向下的抛物线，对称轴为x=a/2，其最大值为a^2/4
当x>=a时，f(x)为开口向上的抛物线，对称轴为x=a/2，其最小值为a^2/4
当a<=0时，a<a/2<0，f(x)在区间[0,1]上单调增，最大值为f(1)=|1-a|
当a>0时，0<a/2<a，
a^2/4-|1-a|==>0<a<1时，(a^2-4+4a)/4>=0==>a>=2√2-2
a>=1时，(a^2+4-4a)/4>=0==>(a-2)^2>=0
即
当0<a<2√2-2时，a^2/4<|1-a|
当2√2-2<=a<=2时，a^2/4>=|1-a|
当a>2时，a^2/4>|1-a|
综上：当2√2-2<=a<=2时，f(x)在区间[0,1]上，最大值为a^2/4