Question

已知函数f（x）=x2+ax，且f（1）=2（1）判断并证明函数f（x）在其定义...

已知函数f（x）=x2+ax，且f（1）=2 （1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性； （2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数； （3）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．

Answer 1

解：f（1）=2∴1+a=2∴a=1，
（1）f（-x）=x2+1-x=-x2+1x=-f(x)，
定义域为{x|x∈R且x≠0}，关于原点对称，∴为奇函数．x2＞x1＞1；
（2）由（1）知f(x)=x2+1x=x+1x，
任取．x2＞x1＞1，
则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2-1x2=x1-x2+x2-x1x1x2=(x1-x2)(1-1x1x2)，
1＜x1＜x2＜+∞∴x1x2＞1∴0＜1x1x2＜1即1-1x1x2＞0且x1-x2＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由（2）知函数f（x）在[2，5]上递增，
所以f(x)max=f(5)=515，f(x)min=f(2)=52