Question

已知a,b,c都是正整数,且a的平方+b的平方=c的平方,求证:1.a,b,c至少有一个偶数,2.a,b,c至少有一个能被3整除

做不来要被罚的!帮忙!

Answer 1

1.答案：由于奇数的平方是奇数。偶数的平方是偶数。
如果a是奇数，b也是奇数，则c方应该是偶数；
如果a是偶数，b也是偶数，则c方应该也是偶数；
如果a是偶数，。。。已经有偶数了。一共三种情况。都有偶数。则第一题得证。

或者用反正法：如果a，b，c都是奇数，奇数的平方仍是奇数，则a的平方+b的平方应该是偶数，矛盾。

2.若都不能被3整除，可设a=3k+1或3k+2,b=3m+1或3m+2，分成四种组合分别考察，则c的平方除3余数应该为：2，而c不论取3s+1或3s+2，其平方被3除的余数只能为1矛盾

Answer 2

1.a,b,c至少有一个偶数
不妨设a,b,c均为奇数
我们先证明一个命题
(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1
所以奇数的平方被4除余1
如果a,b,均为奇数，那么a^2+b^2被4除余2，不可能是一个奇数的平方
命题得证

2.
(3k)^2=9k^2=3*3k^2
(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1
(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1
所以一个整数的平方被3除的余数只能是0或1
如果a,b,c均不是3的倍数，则a^2+b^2被3除余2
也不可能是一个整数的平方
得证

Answer 3

1、如果a，b，c都是奇数，奇数的平方仍是奇数，则a的平方+b的平方应该是偶数，矛盾。
2、若都不能被3整除，可设a=3k+1或3k+2,b=3m+1或3m+2，分成四种组合分别考察，则c的平方除3余数应该为：2，而c不论取3s+1或3s+2，其平方被3除的余数只能为1矛盾

Answer 4

1）
设，c,b都是奇数，c=2m+1,b=2n+1
a^2+b^2=c^2
a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)
=(2m-2n)(2m+2n+2)
=4(m-n)(m+n+1)
所以，a^2是4的倍数
a是2的倍数
a是偶数