Question

积分中的变量替换

比如设x=sint，把末尾的dx换成costdt，然后再进行积分可以得到正确结果？
为什么这样做可以得到正确结果

Answer 1

题目当中给出的做法以及对又例的明白都是对的，经过变量替换以后，u确实是新的积分变量，原来的积分变量是t，对积分而言，x可看作常量，对求导而言，x是求导变量，这些都是对的。
你的问题是说，题目和又例是两种情况，前者u=2x-t，x与(新)积分变量u有关，而后者x与积分变量t无关，是吧。
是这样，对该变量替换来说，x与u在形式上是有关系的，但其实是常量与变量的关系(只有t与u是变量间的关系)，由此，x相对于新的积分变量u看作常量就不难理解了。或者说，当变量替换的步骤完成以后，x与u的那个关系，我们已经在变量替换的过程中考虑完毕(换积分变量、换积分限、换被积函数等)，此时，我们要独立地审视替换后的积分表达式，而不再关联关系u=2x-t，这也可以说是定积分换元的一个特点吧。
注意一下，在本质上，替换u=2x-t中，u与t是变量替换中的一对变量，而x始终是常量(对积分而言，不是对求导)。

回答你的追问“u中是含有x的也就是说与x有关” 如下：
不错，“u中是含有x的也就是说与x有关”，但是是变量与常量的关系，不是变量与变量的关系。
这样可以么？