Question

在三角形ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a,b,c成等比数列,a+c=3，tanB

在三角形ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a,b,c成等比数列,a+c=3，tanB=根号7/3，求ABC的面积

Answer 1

a，b，c成等比数列，则b^2=ac
tanB=sinB/cosB=√7/3>0，又B为三角形内角，sinB恒>0，因此cosB>0
sinB=√7cosB/3
(sinB)^2+(cosB)^2=1
(√7cosB/3)^2+(cosB)^2=1
(cosB)^2=9/16
cosB=3/4
sinB=√7cosB/3=√7(3/4)/3=√7/4
由余弦定理得
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=[(a+c)^2-2ac-ac]/(2ac)
=[(a+c)^2-3ac]/(2ac)
=(a+c)^2/(2ac) -3/2
ac=(a+c)^2/(2cosB +3)
cosB=3/4 a+c=3代入
ac=3^2/(2×3/4 +3)=2
S=(1/2)acsinB=(1/2)×2×(3/4)=3/4