Question

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列 （1）若a+c=√

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列
（1）若a+c=√3,B=60度，求a,b,c的值
（2）求角B的取值范围

Answer 1

1.
a、b、c成等比数列，则b²=ac
由余弦定理得
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
[(a+c)²-ac-2ac]/(2ac)=cos60°
[(a+c)²-3ac]/(2ac)=1/2
[(√3)²]/(2ac) -(3/2)=1/2
3/ac=4
ac=3/4，又a+c=√3，a、c是方程x²-√3x+ 3/4=0的两根。
(x- √3/2)²=0
x=√3/2
a=c=√3/2
b=√(ac)=√a²=a=√3/2
a、b、c的值均为√3/2
2.
由余弦定理得
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
=(a²+c²-ac)/(2ac)
=(a²+c²)/(2ac) -1/2
由均值不等式得a²+c²≥2ac
(a²+c²)/(2ac)≥1
(a²+c²)/(2ac) -1/2≥1/2
cosB≥1/2，又B为三角形内角，cosB<1，因此1/2≤cosB<1
0<B≤60°