Question

过抛物线y=x^2上一点(a,a^2)

过抛物线y=x^2上一点P(a,a^2)作切线,问a为何值时所作切线与抛物线y=-x^2+4x-1所围图形面积最小?
求详细的解答,谢谢~

Answer 1

切线斜率k=y'=2a,则切线方程为y=2ax-a^2
设切线与抛物线y=-x^2+4x-1的交点为P1（x1,y1),P2(x2,y2),（x2>x1)
联立y=2ax-a^2和y=-x^2+4x-1得
x1+x2=4-2a
x1x2=-a^2-1
并可得x1^2+x2^2=6a^2-16a+18,x2-x1=√8a^2-16a+20
面积可用积分得
S=∫（-x^2+4x-1）-（2ax-a^2）dx
=-1/3(x2^3-x1^3)+(2-a)(x2^2-x1^2)+(a^2+1)(x2-x1)
=4/3[2(a-1)^2+3]^(3/2)
当a=1时,S最小为4√3