Question

已知函数f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a＋1(其中a为常数)．(1)求f(x...

已知函数f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a＋1(其中a为常数)． (1)求f(x)的单调区间； (2)若x∈[0，π2]时，f(x)的最大值为4，求a的值． (3)求f(x)取最大值时x的取值集合

Answer 1

(1)由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z)，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，
解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调减区间为[π6＋kπ，2π3＋kπ](k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，
∴－12≤sin(2x＋π6)≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1，
(3)当f(x)取最大值时，2x＋π6＝π2＋2kπ，
∴2x＝π3＋2kπ，∴x＝π6＋kπ，k∈Z．
∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是{x|x＝π6＋kπ，k∈Z}．
(1)由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z)，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，
解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调减区间为[π6＋kπ，2π3＋kπ](k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，
∴－12≤sin(2x＋π6)≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1，
(3)当f(x)取最大值时，2x＋π6＝π2＋2kπ，
∴2x＝π3＋2kπ，∴x＝π6＋kπ，k∈Z．
∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是{x|x＝π6＋kπ，k∈Z}．