Question

等边三角形ABC，AB=a,O为三角形的中心，过O点的直线交AB于M,交AC于N,求1。

等边三角形ABC，AB=a,O为三角形的中心，过O点的直线交AB于M,交AC于N,求1/(OM)^2+1/(ON)^2的最大值。最小值 不求导。。

Answer 1

先作OD⊥AB;OE⊥AC;则OD=OE=h=(a根号3)/6; 设MN与AB夹角α，那么，MN与AC夹角120°-α； MO=h/sinα；ON=h/sin(120°-α）； 则原式=1/MO^2+1/NO^2=12(sinα^2+sin(120°-α）^2)/a^2; 书写方便，设f(α）=sinα^2+sin(120°-α）^2=3/4+sinα^2/2+根号3sin2α/4 =1+sin(2α-30°）/2; 所以，fmax=3/2; 所以，原式最大值=18/a^2;MN∥BC时取最大值