Question

已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c，且f(x)在x=1处取得极值.(1)...

已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c，且f(x)在x=1处取得极值. (1)求b的值; (2)若当x∈[-1，2]时，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围.

Answer 1

解答:解:(1)由题意得f′(x)=3x2-x+b
∵f(x)在x=1处取得极值
∴f′(1)=3-1+b=0
∴b=-2
所以b的值是-2.
(2)由(1)得f′(x)=3x2-x-2
∵当x∈[-1，2]时，f(x)＜c2恒成立
∴x3-
1
2
x2-2x+c＜c2在[-1，2]上恒成立，
即x3-
1
2
x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立.
设g(x)=x3-
1
2
x2-2x则g′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)
当x∈(-1，-
2
3
)时，g′(x)＞0
当x∈(-
2
3
，1)时，g′(x)＜0
当x∈(1，2)时，g′(x)＞0
所以，当x=-
2
3
时，g(x)取得极大值为g(-
2
3
)=
22
27
又因为g(2)=2
所以在[-1，2]上g(x)的最大值为g(2)=2
则有c2-c＞2，解得:c＞2或c＜-1
故c的取值范围为(-∞，-1)∪(2，+∞).