Question

已知函数f（x）=lnx-ax+ 1-a x -1（a∈R），当a≤ 1 2 时，讨论f（x）的单调性

已知函数f（x）=lnx-ax+ 1-a x -1（a∈R），当a≤ 1 2 时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

f′(x)= 1 x -a- 1-a x 2 =- a x 2 -x+1-a x 2 =- [ax+(a-1)](x-1) x 2 （x＞0）， 令g（x）=ax 2 -x+1-a， ①当a=0时，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； ②当0＜a＜ 1 2 时，由f′（x）=0，x 1 =1，x 2 = 1 a -1．此时 1 a -1＞1＞0， 列表如下： 由表格可知：函数f（x）在区间（0，1）和 ( 1 a -1，+∞) 上单调递减，在区间 (1， 1 a -1) 上单调递增； ③当a= 1 2 时，x 1 =x 2 ，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减； ④当a＜0时，由于 1 a -1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增． 综上：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增． 当a= 1 2 时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减． 当 0＜a＜ 1 2 时，函数f（x）在区间（0，1）和 ( 1 a -1，+∞) 上单调递减，在区间 (1， 1 a -1) 上单调递增．