Question

已知函数 f(x)=lg a-x 1+x ，（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在（-1，5]内有

已知函数 f(x)=lg a-x 1+x ，（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在（-1，5]内有意义，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）在（m，n）上的值域为（-1，+∞），求（m，n）．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）为奇函数 ∴f（x）+f（-x）=0对于定义域内的任意x都成立 ∴ lg a-x 1-x +lg a+x 1-x =0 ∴ (a-x)(a+x) 1- x 2 =1 ∴a=1…（4分） （Ⅱ）∵若f（x）在（-1，5]内恒有意义，则在（-1，5]上 a-x 1+x ＞0 ∵x+1＞0 ∴a-x＞0 ∴a＞x在（-1，5]上恒成立 ∴a＞5…（10分） （Ⅲ）∵x∈（-1，1）时，t= 1-x 1+x =-1+ 2 x+1 是减函数 y=lgt在定义域内是增函数（13分） ∴ y=f(x)=lg 1-x 1+x 在（-1，1）上是减函数 ∵f（x）在（m，n）上的值域为（-1，+∞），且函数单调递减 ∴（m，n）?（-1，1） ∴函数f（x）在x=n处取得函数的最小值-1， ∴ f(n)=lg 1-n 1+n =-1 ，f（m）没有意义 ∴ 1-n 1+n = 1 10 ∴n= 9 11 ，m=-1 ∴（m，n）= (-1， 9 11 ) …（16分）