Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x －6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)试判断是否存在

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x －6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A， B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ） .（Ⅱ）该直线存在，其方程为 .

试题分析：（Ⅰ）曲线 与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ， 故可设 的圆心为 ， 则有 ， 解得 则圆 的半径为 ， 所以圆 的方程为                4分 （Ⅱ）假设直线存在，依题意，设直线方程为 ， 并设 ， 由 ，消去 得到方程 由已知可得，判别式 因此， 从而 ，    ① 由于 ，可得 又 ， 所以     ② 由①，②得 ，满足 所以该直线存在，其方程为            8分 点评：中档题，中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。恰当的运用圆中的“特征三角形”，转化成点到直线的距离问题，更为简洁。对存在性问题，常常是先假设存在，应用已知条件，确定其存在性，达到解体目的。本题较难。