Question

设直角三角形的两条直角边的长分别为 ， b ，斜边长为 c ，斜边上的高为 h ，则有 ① ， &n...

设直角三角形的两条直角边的长分别为 ， b ，斜边长为 c ，斜边上的高为 h ，则有 ① ， ② ， ③ ， ④ .其中正确结论的序号是 ；进一步类比得到的一般结论是 .





Answer 1

②④

由a+b＜c+h成立，我们可以类比给出a 3 +b 3 ＜c 3 +h 3 ；a 4 +b 4 ＜c 4 +h 4 ；a 5 +b 5 ＜c 5 +h 5 等 ，再逐一分析它们的真假，再根据其中的规律，归纳猜想出一般性的结论． 解：在直角三角形ABC中，a=csinA，b=ccosA，ab=ch，所以h=csinAcosA． 于是a n +b n =c n （sin n A+cos n A），c n +h n =c n （1+sin n Acos n A）．a n +b n -c n -h n =c n （sin n A+cos n A-1-sin n Acos n A）=c n （sin n A-1）（1-cos n A）＜0． 所以a n +b n ＜c n +h n （n∈N * ）． 故正确答案是②④；结论是a n +b n ＜c n +h n （n∈N * ）。