Question

已知：⊙O的半径OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中点，点P是射线AO上一点（与点A不重合），直线PC与射线BO交于点

已知：⊙O的半径OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中点，点P是射线AO上一点（与点A不重合），直线PC与射线BO交于点D．（1）当点P在⊙O上，求OD的长．（2）若点P在AO的延长线上，设OP=x，ODDB＝y，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．（3）连接CO，若△PCO与△PCA相似，求此时BD的长．

Answer 1

解：（1）当P在⊙O上时，连接BP，
∵C是AB中点，O是AP中点，
∴点D为△ABP的重心，
∴OD=

1

3

OB，
∵OA=OB=5，
∴OD=

1

3

×5=

5

3

；

（2）如图，过点O作OE∥AB，交PC于点E，
∵OE∥AB，
∴

OE

AC

=

OP

AP

，

OE

BC

=

OD

BD

，
又∵AC=BC，
∴

OP

AP

=

OD

BD

，
即y=

x

5+x

（x＞0）；

（3）①如图1，当P在AO延长线上时，
∵△PCO∽△PAC，
∴∠PCO=∠A，
∵∠A=∠ABO，
∴∠PCO=∠ABO，
∵OA=OB，点C是AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠PCO+∠BCD=90°，
又∵∠A+∠AOC=90°，
∴∠BCD=∠AOC，
∴△ACO∽△BDC，
∴

AC

BD

=

AO

BC

，
即

4

BD

=

5

4

，
∴BD=

16

5

；
②如图2，当P在AO上时，∵△PCO∽△PAC，
∴∠PCO=∠A，
∴∠A+∠ACP=∠PCO+∠ACP=90°，
∴CP⊥AO，
∴△ACP∽△AOC，
∴

AC

AO

=

AP

AC

，
∵AB=8，C是AB的中点，
∴AC=

1

2

×8=4，
∴

4

5

=

AP

4

，
解得AP=

16

5

，
∴PO=AO-AP=5-

16

5

=

9

5

，
过点B作BH⊥AO于H，则OH=PH-OP=AP-OP=

16

5

-

9

5

=

7

5