Question

如图，已知抛物线y=?23x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且OA=1，OC=2．（1）

如图，已知抛物线y=?23x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且OA=1，OC=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是抛物线在第一象限内的一点，且tan∠EOB=1，求点E的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得△PBE为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意，A（-1，0）、C（0，2），代入y=?

2

3

x²+bx+c中，得：

? 2 3 ?b+c＝0 c＝2

，
解得

b＝ 4 3 c＝2

故抛物线的解析式：y=-

2

3

x²+

4

3

x+2．

（2）∵点E在第一象限内，且tan∠EOB=1，
∴设点A（x，x）（x＞0），代入抛物线y=-

2

3

x²+

4

3

x+2中，得：
-

2

3

x²+

4

3

x+2=x，化简，得：2x²-x-6=0
解得：x₁=2，x₂=-

3

2

（舍）；
故点E的坐标为（2，2）．

（3）由（1）的抛物线解析式知，对称轴：x=1，点B（3，0）；
设点P的坐标（1，m），则：
PB²=（3-1）²+（0-m）²=m²+4，PE²=（2-1）²+（m-2）²=m²-4m+5，BE²=（3-2）²+（0-2）²=5
①若PB=PE，则有：m²+4=m²-4m+5，解得：m=

1

4

；
②若PB=BE，则有：m²+4=5，解得：m=±1；
③若PE=BE，则有：m²-4m+5=5，解得：m₁=0，m₂=4；
由B（3，0）、E（2，2）知，直线BE：y=-2x+6；
当m=4时，P（1，4）正好在直线BE上，不能构成三角形，故舍去；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（1，

1

4

）、（1，1）、（1，-1）、（1，0）．