Question

天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍，利用双星

天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍，利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的有关数据．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，（1）若两恒星的圆周运动半径之比为1：10，试求出它们质量比为多大？（2）若不知两恒星的圆周运动半径之比，试推算出这个双星系统的总质量？（引力常量为G）

Answer 1

（1）令双星质量分别为m₁和m₂，轨道半径分别为r₁和r₂，双星间的万有引力分别提供各自圆周运动的向心力，故有：
G

m1m2

(r1+r2)2

＝m1r1

4π2

T2

＝m2r2

4π2

T2

由此可得m₁r₁=m₂r₂
所以有

m1

m2

＝

r2

r1

=

10

1

（2）令双星质量分别为m₁和m₂，轨道半径分别为r₁和r₂，有r=r₁+r₂
所以对星1有：G

m1m2

r2

＝m1r1

4π2

T2

可得m2＝

4π2r2r1

GT2

同理对于星2有：G

m1m2

r2

＝m2r2

4π2

T2

可得m1＝

4π2r2r2

GT2

所以双星的总质量M=m₁+m₂=

4π2r2

GT2

(r1+r2)=

4π2r3

GT2

答：（1）若两恒星的圆周运动半径之比为1：10，试求出它们质量比为10：1；
（2）若不知两恒星的圆周运动半径之比，这个双星系统的总质量为

4π2r3

GT2

．