Question

求不定积分∫dx/3√(x+1)^2(x-1)^4的思路是什么？

书上有参考答案，令[(x-1)/(x+1)]^(1/3)=t，再经过一番推导后，得到3/2∫dt/t^2=-3/2t+C，从而求出结果。我就是想问一下这种思路是如何构建的，这种思路很妙啊……很难相信这是偶然的结果，应该是有什么推导思路的，谢谢各位大神……有谁能和我说下这种思路是什么？

Answer 1

思路是：提出(x-1)(x+1)之后，对其余部分的替换。

分析过程如下：

∫dx[³√(x+1)²(x-1)^4)]=∫dx[³√(x+1)²(x-1)(x-1)³]

∫dx[³√(x+1)²(x-1)(x-1)³]=∫dx[(x-1) ³√(x+1)²(x-1)]

=∫dx[(x-1) ³√(x+1)³(x-1)/(x+1)]

=∫dx[(x-1)(x+1) ³√(x-1)/(x+1)]

然后令[(x-1)/(x+1)]^(1/3)=t（换元法）

则3/2∫dt/t^2=-3/2t+C

扩展资料：

换元法求不定积分

换元积分法（Integration By Substitution）是求积分的一种方法，主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易，从而来求较复杂的不定积分。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。

设f(u)具有原函数F(U)，即。

F'(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。

如果u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么，根据复合函数微分法有：

dF(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx。

从而根据不定积分的定义就得：

∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

于是有下述定理：

设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

Answer 2

思路是：提出(x-1)(x+1)之后，对其余部分的替换。

具体过程如下：被积函数

³√(x+1)²(x-1)(x-1)³

=(x-1) ³√(x+1)²(x-1)

=(x-1) ³√(x+1)³(x-1)/(x+1)

=(x-1)(x+1) ³√(x-1)/(x+1)

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 3

就是拼凑法，详情如图所示

Answer 4

思路应该是：提出(x-1)(x+1)之后，对其余部分的替换。
具体过程如下：被积函数
³√(x+1)²(x-1)(x-1)³
=(x-1) ³√(x+1)²(x-1)
=(x-1) ³√(x+1)³(x-1)/(x+1)
=(x-1)(x+1) ³√(x-1)/(x+1)

Answer 5

这样换换元后，无理函数的积分就转化为有理函数的积分。