Question

如图，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=BC=1，BB 1 =2，E是棱CC 1 上的点，且 CE= 1 4 C

如图，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=BC=1，BB 1 =2，E是棱CC 1 上的点，且 CE= 1 4 C C 1 ．（1）求三棱锥C-BED的体积；（2）求证：A 1 C⊥平面BDE．

Answer 1

（1）V C-BED =V E-BCD = 1 3 ( 1 2 ?BC?CD)?CE = 1 3 ( 1 2 ×1×1)× 2 4 = 1 12 ． （2）证明：长方体中，∵A 1 B 1 ⊥面BB 1 C 1 C，∴A 1 B 1 ⊥BE，由题意得 B 1 C⊥BE，故BE 垂直于面A 1 B 1 C内的 两条相交直线 A 1 B 1 和B 1 C，∴BE⊥面A 1 B 1 C，∴BE⊥A 1 C． 正方形ABCD中，∵AC⊥BD，AC是A 1 C在底面内的射影，由三垂线定理可得BD⊥A 1 C． 这样，A 1 C垂直于平面BDE内的两条相交直线BE 和BD，故A 1 C⊥平面BDE．