Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，（Ⅰ）求P

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）解：在四棱锥P-ABCD中， 因PA⊥底面ABCD， 平面ABCD， 故PA⊥AB， 又AB⊥AD，PA∩AD=A， 从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角， 在 中，AB=PA，故∠APB=45°， 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°． （Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中， 因PA⊥底面ABCD， 平面ABCD， 故CD⊥PA， 由条件CD⊥PC，PA∩AC=A， ∴CD⊥面PAC， 又 面PAC， ∴AE⊥CD， 由 ，∠ABC=60°，可得AC=PA， ∵E是PC的中点， ∴AE⊥PC， ∴PC∩CD=C， 综上得AE⊥平面PCD．
（Ⅲ）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连结AM， 由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD， AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD， 因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角， 由已知，可得∠CAD=30°，设AC=a，可得 ， ， ∴ ， 则 ， 在 中，sin∠AME= ， 所以二面角A-PD-C的大小是 。

Answer 2

(1)因为PA⊥平面ABCD,CD∈平面ABCD,所以CD⊥PA,
因为AC⊥CD,PA和AC∈平面PAC,且PA∩AC
=A,
所以,CD⊥平面PAC,AE∈平面PAC,所以CD⊥AE,
(2)由于PA⊥平面ABCD,AD是PA在平面ABCD上的射影,AD⊥AB,所以PD⊥AB,
因为∠ABC=60°AB=BC,所以⊿ABC是正⊿,AC=AB=PA,E为AC中点,AE⊥PC,
AE⊥CD(1),PC∩CD=C,AE⊥平面PCD,,PD∈PCD,平面所以PD⊥AE
AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE