Question

（1）如图1，正三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上的任意一点，连接PB、PC，求证：PB+PC=PA．（2）如图2，

（1）如图1，正三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上的任意一点，连接PB、PC，求证：PB+PC=PA．（2）如图2，四边形ABCD中，△ABM与△CDN是分别以AB、CD为一边的圆的内接正三角形，E、F分别在这两个三角形的外接圆上．请指出E、F两点的位置，使得AE+EB+EF+FC+FD的值最小，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：在PA上截取PD=PB，连结BD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=CB，
∴∠BPD=∠ACB=60°，
∴△PBD为等边三角形，
∴∠PBD=60°，BD=BP，
∴∠ABC-∠DBC=∠PBD-∠DBC，即∠ABD=∠CBP，
∵在△ABD和△CBP中，

AB＝CB ∠ABD＝∠CBP BD＝BP

，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴AD=CP，
∴AP=AD+DP=CP+BP，
即PB+PC=PA；

（2）当点E、F为直线MN与两圆的交点时，AE+EB+EF+FC+FD的值最小．
证明：连结ME、NF，如图，
由（1）的结论得EA+EB=ME，FC+FD=FN，
∴AE+EB+EF+FC+FD=ME+EF+FN，
∴当点M、E、F、N共线时，ME+EF+FN的值最小，
此时点E、F为直线MN与两圆的交点．