Question

（2009?天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐

（2009?天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD．
设点C的坐标为（0，m）（m＞0），则BC=OB-OC=4-m．
∴AC=BC=4-m．
在Rt△AOC中，由勾股定理，AC²=OC²+OA²，
即（4-m）²=m²+2²，解得m=

3

2

．
∴点C的坐标为（0，

3

2

）；

（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B′，
∴△B′CD≌△BCD．
∵OB′=x，OC=y，
∴B'C=BC=OB-OC=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C²=OC²+OB′²．
∴（4-y）²=y²+x²，
即y=-

1

8

x²+2．
由点B′在边OA上，有0≤x≤2，
∴解析式y=-

1

8

x²+2（0≤x≤2）为所求．
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴y的取值范围为

3

2

≤y≤2；

（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B″，且B″D∥OC．
∴∠OCB″=∠CB″D．
又∵∠CBD=∠CB″D，
∴∠OCB″=∠CBD，
∵CB″∥BA．
∴Rt△COB″∽Rt△BOA．
∴

OB″

OA

＝

OC

OB

，
∴OC=2OB″．
在Rt△B″OC中，
设OB″=x₀（x₀＞0），则OC=2x₀．
由（Ⅱ）的结论，得2x₀=-

1

8

x₀²+2，
解得x₀=-8±4

5

．
∵x₀＞0，
∴x₀=-8+4

5

．
∴点C的坐标为（0，8

5

-16）．