Question

已知数列{an}满足a1=0，an+1＝1+an(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，且数列34S1+1，34S2+1，34S3+1，…34

已知数列{an}满足a1=0，an+1＝1+an(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，且数列34S1+1，34S2+1，34S3+1，…34Sn+1…是首项和公比都为4的等比数列．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Tn，求1T2+1T3+1T4+…+1Tn的值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知：a_n+1-a_n=1，n∈N^*，满足a₁=0，
∴数列{a_n}是以0为首项，公差等于1的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n-1；
又由题意可得：

3

4

Sn+1＝4×4n?1=4ⁿ，
∴S_n=

4

3

(4n?1)；
（1）当n=1时，b1＝S1＝

4

3

(4?1)=4，
（2）当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=

4

3

(4n?1)?

4

3

(4n?1?1)=4ⁿ，
检验n=1时也符合，∴bn＝4n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：Tn＝

n(a1+an)

2

=

(n?1)n

2

，
∴当n≥2时，

1

Tn

=

2

(n?1)n

=2(

1

n?1

?

1

n

)，
∴

1

T2

+

1

T3

+

1

T4

+…+

1

Tn

=2(1?

1

2

)+2（

1

2

?

1

3

）+…+2（

1

n?1

+

1

n

）=2-

2

n

．