Question

如图，把正方形ABCD沿着直线EF对折，使顶点C落在边AB的中点M，已知正方形的边长为4，那么折痕EF的长为___

如图，把正方形ABCD沿着直线EF对折，使顶点C落在边AB的中点M，已知正方形的边长为4，那么折痕EF的长为______．

Answer 1

过E点作EH⊥BC于H点，MD′交AD于G点，如图， ∵把正方形ABCD沿着直线EF对折，使顶点C落在边AB的中点M， ∴FC=FM，BM= 1 2 AB= 1 2 ×4=2，ED=ED′，∠D′MF=∠C=90°，∠D′=∠D=90°， 设MF=x，则BF=4-x， 在Rt△BFM中，MF 2 =BF 2 +BM 2 ，即x 2 =（4-x） 2 +2 2 ， ∴x= 5 2 ， ∴MF=FC= 5 2 ，BF=4- 5 2 = 3 2 ， ∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠3， ∴Rt△AGM ∽ Rt△BMF， ∴ AM BF = AG BM = MG MF ，即 2 3 2 = AG 2 = MG 5 2 ， ∴AG= 8 3 ，MG= 10 3 ， 设DE=t，则D′E=t，GE=4-t- 8 3 = 4 3 -t， 易证得Rt△D′GE ∽ Rt△AGM， ∴ GE GM = D′E AM ，即 4 3 -t 10 3 = t 2 ，解得t= 1 2 ， ∴HC=ED= 1 2 ， ∴FH=4- 1 2 - 3 2 =2， 在Rt△EFH中，EH=DC=4，FH=2， ∴EF= EH 2 + FH 2 = 4 2 + 2 2 =2 5 ． 故答案为2 5 ．