Question

已知：3Sinβ=Sin（2α+β），则tanβ的最大值是______

已知：3Sinβ=Sin（2α+β），则tanβ的最大值是______．

Answer 1

由3sinβ=sin（2α+β）得： 3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α] ?3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα ?sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα 若cos（α+β）=0，则易得tanβ=0 若cos（α+β）≠0，则在等式两边同除以cos（α+β），即 sin(α+β)cosα cos(α+β) = 2cos(α+β)sinα cos(α+β) ∴tan（α+β）=2tanα  （tanα≠0） 因为tanβ=tan[（α+β）-α]= tan(α+β)-tanα 1+tan(α+β)tanα = tanα 1+2ta n 2 α = 1 1 tanα +2ta n   α 显然当tanα＞0时，tanβ取得最大值，∴tanβ= 1 1 tanα +2ta n   α ≤ 1 2 1 tanα ×2tanα = 1 2 2 = 2 4 当且仅当tanα= 2 2 时取等号 综上所述，tanβ的最大值是 2 4 故答案为 2 4