Question

设函数f（x）=-x（x-a） 2 （x∈R），其中a∈R，（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切

设函数f（x）=-x（x-a） 2 （x∈R），其中a∈R，（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k 2 -cos 2 x）对任意的x∈R恒成立。

Answer 1

（Ⅰ）解：当a=1时， ，得f（2）=-2， 且 ，f′（2）=-5， 所以，曲线 在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2）， 整理得5x+y-8=0。 （Ⅱ）解： ， ， 令 ，解得 或x=a， 由于a≠0，以下分两种情况讨论， （1）若a＞0，当x变化时，f′（x）的正负如下表： 因此，函数f（x）在 处取得极小值 ，且 ； 函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0； （2）若a＜0，当x变化时，f′（x）的正负如下表： 因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0； 函数f（x）在 处取得极小值 ，且 ； （Ⅲ）证明：由a＞3，得 ， 当k∈[-1，0]时， ， 由（Ⅱ）知，f（x）在(-∞，1]上是减函数， 要使 ，x∈R 只要 ， 即 ，　　① 设 ， 则函数g（x）在R上的最大值为2，要使①式恒成立， 必须 ，即k≥2或k≤-1； 所以，在区间[-1，0]上存在k=1，使得 对任意的x∈R恒成立．