Question

如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC

如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）如图1中，PG与PC的位置关系是______，数量关系是______；（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：PG=PC；（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求PGPC的值．

Answer 1

（1）PG⊥PC且PG=PC；
理由：如图1，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是正方形，
∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP=∠GFP．
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP．
∵在△DHP和△FGP中，

∠CDP＝∠GFP DP＝FP ∠DPH＝∠FPG

，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴DH=FG，PH=PG，
∴HC=GC，
∴△HCG是等腰直角三角形，
∵PH=PG
∴PG⊥PC且PG=PC．

（2）如图2，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是矩形，
∴∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP=∠GFP．
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP．
∵在△DHP和△FGP中，

∠CDP＝∠GFP DP＝FP ∠DPH＝∠FPG

，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴PH=PG=

1

2

HG，
∵∠DCB=90°，
∴△HCG是直角三角形，
∴CP=

1

2

HG，
∴PG=PC；

（3）如图3，延长GP交CD于H，
∵P是DF的中点，
∴DP=FP．
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，点A，B，E在同一条直线上，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP．
∵在△DHP和△FGP中，

∠CDP＝∠GFP DP＝FP ∠DPH＝∠FPG

，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴HP=GP   DH=FG         
∵CD=CB，FG=GB
∴CD-DH=CB-FG
即：CH=CG
∴△HCG是等腰三角形，
∴PC⊥PG∠HCP=∠GCP（等腰三角形三线合一） 
∴∠CPG=90°．
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠GCP=

1

2

∠DCB=60°，