在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接AB并延
在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接AB并延长AB至点D,使DB=AB,连接OB、DC相交于E,过E作OA...
在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接AB并延长AB至点D,使DB=AB,连接OB、DC相交于E,过E作OA的垂线,垂足为F,连接AE.(1)如图,当∠AOB=15°时,①求弧AB的长; ②求△OAB的面积;(2)在点B运动过程中,①若以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,请求出此时点F的坐标;②若以点E、C、F为顶点的三角形与△ABE相似,请直接写出此时点F的坐标.
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解:(1)如图,连接BC,
∵点A(10,0),
∴OC=AC=5,
∴∠ACB=2∠AOB=30°,
①弧AB的长为:
=
π;
②作BP⊥OA于P,如图,
∵OA是半圆C的直径,
∴∠OBA=90°,
∵∠ACB=30°,CB=5,
∴BP=
BC=
,
∴S△OAB=
×
×10=
;
(2)连结OD,
∵AB=BD,AB⊥OB,
∴△ODA为等腰三角形,
∴OD=OA=10,
∴CB=
OD,CB∥OD,
∴△BCE∽△ODE,
∴BE:OE=CE:DE=BC:OD=1:2,
①当Rt△ECF∽Rt△AOB,如图,
∴∠AOB=∠ECF,
∴EO=EC,
而EF⊥OC,
∴OF=
OC=
,
∴F点坐标为(
,0);
当Rt△ECF∽Rt△OAB,作DH⊥OA,如图,
∴∠BAO=∠FCE,
∴DC=DA,
∴CH=AH=
CA=
,
∵EF∥DH,CE:DE=1:2,
∴CF:CH=CE:CD=1:3,
∴CF=
CH=
,
∴OF=OC+CF=
,
∴F点坐标为(
,0);
②当Rt△ECF∽Rt△AEB,连结BF,如图,
∴∠ECF=∠AEB,
∵∠EFA=∠EBA=90°,
∴点E、F、A、B共圆,
∴∠AEB=∠AFB,
∴∠AFB=∠ECF,
∴CE∥BF,
∴OC:OF=OE:OB=2:3,
∴OF=
OC=
,
∴F点坐标为(
,0);
当Rt△ECF∽Rt△EAB,
∴∠ECF=∠EAB,
∵∠EBA=90°,AB=DB,
∴△EAD为等腰三角形,
∴∠EAD=∠ADE,
∴∠ADE=∠ECF,
∴AD=AC=5,
∴AB=
,
在Rt△OAB中,OB=
=
∵点A(10,0),
∴OC=AC=5,
∴∠ACB=2∠AOB=30°,
①弧AB的长为:
30π×5 |
180 |
5 |
6 |
②作BP⊥OA于P,如图,
∵OA是半圆C的直径,
∴∠OBA=90°,
∵∠ACB=30°,CB=5,
∴BP=
1 |
2 |
5 |
2 |
∴S△OAB=
1 |
2 |
5 |
2 |
25 |
2 |
(2)连结OD,
∵AB=BD,AB⊥OB,
∴△ODA为等腰三角形,
∴OD=OA=10,
∴CB=
1 |
2 |
∴△BCE∽△ODE,
∴BE:OE=CE:DE=BC:OD=1:2,
①当Rt△ECF∽Rt△AOB,如图,
∴∠AOB=∠ECF,
∴EO=EC,
而EF⊥OC,
∴OF=
1 |
2 |
5 |
2 |
∴F点坐标为(
5 |
2 |
当Rt△ECF∽Rt△OAB,作DH⊥OA,如图,
∴∠BAO=∠FCE,
∴DC=DA,
∴CH=AH=
1 |
2 |
5 |
2 |
∵EF∥DH,CE:DE=1:2,
∴CF:CH=CE:CD=1:3,
∴CF=
1 |
3 |
5 |
6 |
∴OF=OC+CF=
35 |
6 |
∴F点坐标为(
35 |
6 |
②当Rt△ECF∽Rt△AEB,连结BF,如图,
∴∠ECF=∠AEB,
∵∠EFA=∠EBA=90°,
∴点E、F、A、B共圆,
∴∠AEB=∠AFB,
∴∠AFB=∠ECF,
∴CE∥BF,
∴OC:OF=OE:OB=2:3,
∴OF=
3 |
2 |
15 |
2 |
∴F点坐标为(
15 |
2 |
当Rt△ECF∽Rt△EAB,
∴∠ECF=∠EAB,
∵∠EBA=90°,AB=DB,
∴△EAD为等腰三角形,
∴∠EAD=∠ADE,
∴∠ADE=∠ECF,
∴AD=AC=5,
∴AB=
5 |
2 |
在Rt△OAB中,OB=
OA2-AB2 |
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