Question

（2005?湖北）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中

（2005?湖北）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

Answer 1

（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE∥PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角．
在△AOE中，AO=1，OE=

1

2

PB=

7

2

，AE=

1

2

PD=

5

2

，
∴cosEOA=

1+ 7 4 ? 5 4

2× 7 2 ×1

=

3 7

14

．
即AC与PB所成角的余弦值为

3 7

14

．
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则∠ADF=

π

6

．
连PF，则在Rt△ADF中DF=

AD

cosADF

=

2 3

3

，AF=ADtanADF=

3

3

．
设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC．从而NE⊥面PAC．
∴N点到AB的距离=

1

2

AP=1，N点到AP的距离=

1

2

AF=

3

6

．