Question

抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）均在抛物线上．

抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）若直线AB与x 轴交于点M（x 0 ，0），且y 1 ?y 2 =-4，求证：点M的坐标为（1，0）．

Answer 1

（1）由已知可设抛物线方程为y 2 =2px． ∵点P（1，2）在抛物线上，∴p=2． 故所求抛物线的方程是y 2 =4x，（4分） 准线方程是x=-1．（5分） （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ） ①当AB斜率不存在时，y 1 =-y 2 =2代入y 2 =4x∴x 1 =x 2 =1，∴M（1，0）（8分） ②当AB斜率存在时，设AB：y=k（x-x 0 ）（k≠0）， 联立 y=k(x- x 0 ) y 2 =4x ? k y 2 4 -y-k x 0 =0 ∴y 1 ?y 2 =-4x 0 =-4，∴x 0 =1，即M（1，0）（12分） 综上：AB直线与x轴交点M（1，0）．