Question

已知：如图，△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连

已知：如图，△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连接AD，BC，点M为线段BC的中点，连接OM，请你猜想OM与AD的数量关系：______（直接写出答案，不必证明）；（2）如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．①OM与AD的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由；②求证：OM⊥AD．

Answer 1

（1）猜想结论：OM＝

1

2

AD（1分）
证明：∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OC=OD，OA=OB，CD∥AB，
∴AC=BD，
∵四边形ABDC是等腰梯形，
∴AD=BC，
∵点M为线段BC的中点，
∴OM=

1

2

BC，
∴OM=

1

2

AD；

（2）①结论仍成立（2分）
证明：延长BO到F，使FO=BO．连接CF，
∵M为BC中点，O为BF中点，
∴MO为△BCF中位线，
∴MO=

1

2

CF（3分），
∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，
∴∠AOD=∠COF，
AO=OF，CO=DO，
∴△AOD≌△FOC（4分），
∴CF=AD，
∴MO=

1

2

AD（5分）；

②证法一：∵MO为△BCF中位线，
∴MO∥CF，
∴∠MOB=∠F（6分），
又∵△AOD≌△FOC，
∴∠DAO=∠F，
∵∠MOB+∠AOM=90°，
∴∠DAO+∠AOM=90°（7分），
即OM⊥AD．
证法二：
延长OM到E，使得ME=OM，连接BE，
易证△BEO≌△ODA
∴OE=AD
∴OM=1/2OE=1/2AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO
∴∠DAO+∠AOM=∠EOB+∠AOM=90°
∴OM⊥AD．