Question

已知函数f（x）=x2+ax+2ln（x-1），a是常数．（1）若a=1，求y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2

已知函数f（x）=x2+ax+2ln（x-1），a是常数．（1）若a=1，求y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若f′（x）＞（a-3）x2对?x∈（2，3）恒成立，求a的取值范围．（参考公式：3x3-x2-2x+2=（x+1）（3x2-4x+2））

Answer 1

（1）由a=1，f/(x)＝2x+1+

2

x?1

，…（1分）  
∴f′（2）=7…（2分），又f（2）=6
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线为y-6=7（x-2）…（4分），
即y=f（x）在点（2，f（2））的切线为y=7x-8；…（5分）
（2）由f′（x）＞（a-3）x²得a(x2?1)＜3x2+2x+

2

x?1

＝

3x3?x2?2x+2

x?1

…（6分），
对?x∈（2，3），x²-1＞0，所以a＜

3x3?x2?2x+2

(x?1)(x2?1)

＝

(3x2?4x+2)(x+1)

(x?1)2(x+1)

=

3x2?4x+2

(x?1)2

…（8分），
设g(x)＝

3x2?4x+2

(x?1)2

，则g/(x)＝

?2x

(x?1)3

＜0…（10分），
g（x）在区间（2，3）单调递减…（11分），
∴a≤g(3)＝

17

4

，a的取值范围为(?∞，

17

4

]…（14分）．