Question

如图，已知△ABC中，BD、CE是高，F是BC中点，连接DE、EF和DF． （1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）若

如图，已知△ABC中，BD、CE是高，F是BC中点，连接DE、EF和DF． （1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）若∠A＝45°，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）若∠A：∠DFE＝5：2，BC=4，求△DEF的面积．

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）△DEF是等腰直角三角形，理由见试题解析；（3）1．

试题分析：（1）由直角三角形斜边上直线的性质可得：EF= BC=DF；故△DEF为等腰三角形； （2）由△BEF和△DFC为等腰三角形和∠A=45°，求出∠EFD的度数即可； （3）设∠A=5 ，则∠DFE=2 ，用（2）类似的方法求出∠DFE=30°，作出△EDF边DF上的高EG，求出EG的长即可． 试题解析：（1）证明：∵BD、CE是高，F是BC中点，∴EF= BC=DF，∴△DEF是等腰三角形． （2）△DEF是等腰直角三角形；理由：∵∠A＝45°，∴∠EBF+∠DCF=180°-45°=135°，∵EF= BC=DF，∴∠EBF=∠FEB，同理，∠DCF=∠FDC，∴∠FEB+∠FDC=135°， ∴∠BFE+∠CFD=180°+180°-135°-135°=90°，∴∠DFE=180°-90°=90°，∴△DEF是等腰直角三角形． （3）作EG⊥DF于G，设∠A＝5 ，∠DFE＝2 ，∵EF=BF，DF=FC，∴∠FBE=∠BEF，∠FCD=∠FDC， ∴∠BFE+∠CFD=180°－2∠FBE+180°－2∠FCD=2(180°－∠FBE－∠FCD)=2∠A= ，∵ ，∴∠DFE＝2 ，∵BC=4，∴DF=EF=2，∴EG=1，∴△DEF面积1．