Question

已知函数f（x）=lnx-ax 2 +x（a∈R）（1）求a的最大值，使函数f（x）在（0，+∞）内是单调函数．（2）若

已知函数f（x）=lnx-ax 2 +x（a∈R）（1）求a的最大值，使函数f（x）在（0，+∞）内是单调函数．（2）若对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

（1）求导函数可得 f′(x)= 1 x -2ax+1 令 f′(x)= 1 x -2ax+1≥0 ， ∵x＞0，∴2a≤ 1 x 2 + 1 x = ( 1 x + 1 2 ) 2 - 1 4 ∵x＞0，∴ 1 x 2 + 1 x ≥0 ∴2a≤0，∴a最大值为0 f′(x)= 1 x -2ax+1≤0 ，即-2ax 2 +x+1≤0，函数在（0，+∞）内不是单调函数 综上，a最大值为0； （2）由（1）知，a≤0，函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数，f（x）＞0 ∴a＞0 构造函数 y 1 =lnx， y 2 =a x 2 -x ∵对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0， ∴对于任意的x∈（0，+∞），总有y 1 ＜y 2 ，即对于任意的x∈（0，+∞），y 1 =lnx在 y 2 =a x 2 -x 的下方， 如图所示， ∴ 0＜ 1 a ≤1 ， ∴a≥1