Question

设f（x）∈C[a，b]，在（a，b）内二阶可导，ξ∈（a，b），f″（ξ）＞0．（1）若f′（ξ）=0，证明：存

设f（x）∈C[a，b]，在（a，b）内二阶可导，ξ∈（a，b），f″（ξ）＞0．（1）若f′（ξ）=0，证明：存在x1，x2∈（a，b）（x1＜ξ＜x2），使得f（x1）=f（x2）．（2）若f′（ξ）≠0，证明：存在η1，η2∈（a，b）（η1＜ξ＜η2），使得f(η1)?f(η2)η1?η2=f′（ξ）．

Answer 1

（1）
因为：f″（ξ）＞0，且f′（ξ）=0，
所以ξ为函数f（x）的极小值点，
由于f（x）∈C[a，ξ]，所以在[a，ξ]上有最大值f（t₁），
同理，f（x）∈C[ξ，b]，所以在[ξ，b]上有最大值f（t₂），
不妨设f（t₁）≤f（t₂）．
则有f（t₁）＞f（ξ），否则f为常数函数，故有f″=0，与f″（ξ）＞0矛盾．
从而有：t₁＜ξ．
在区间[ξ，b]上，
由连续函数的介值定理可知，存在x₀∈（ξ，b]，使得f（x₀）=f（t₁）．
取x₁=t，x₂=x₀，使得f（x₁）=f（x₂）．
（2）当f′（ξ）≠0时，令g（x）=f（x）-xf′（ξ），则g′（ξ）=0．
从而g符合（1）中的条件，于是存在η₁，η₂∈（a，b）（η₁＜ξ＜η₂），使得g（η₁）=g（η₂），
所以

g(η1)?g(η2)

η1?η2

＝0，
即

f(η1)?f(η2)

η1?η2

＝f′(ξ)．