Question

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+=Sn2，其中Sn为数列{an}的前n项和．（I）

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a13+a23+a33+…+=Sn2，其中Sn为数列{an}的前n项和．（I）求证：an2=2Sn-an；（II）求数列{an}的通项公式；（III）若bn=3n+（-1）n-1λ?2an（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）证明：当n=1时，a₁³=a₁²，∵a₁＞0，∴a₁=1．
当n≥2时，a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，
a₁³+a₂³+…+a_n-1³=S_n-1²，
两式相减知：a_n³=S_n²-S_n-1²=a_n（2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n），
∵a_n＞0
∴a_n²=2a₁+2a₂+…+2a_n-1+2a_n-a_n
∴a_n²=2S_n-a_n
综上可知：∴a_n²=2S_n-a_n，n∈N*．
（II）∵a_n²=2S_n-a_n
∴当n≥2时，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1，
∴a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
又∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1-1=0
∴a_n-a_n-1=1
所以数列a_n为首项为1，公差为1的等差数列．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=n，n∈N*．
（III）假设存在λ使得对任意的n∈N*，有b_n+1＞b_n．
∵a_n=n，n∈N*
∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1?λ?2an＝ 3n +(?1)n?1?λ?2n，
∴b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ?λ?2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+（-1）^n-1?λ?2ⁿ]
∴b_n+1-b_n=2?3ⁿ-3λ（-1）^n-1?2ⁿ＞0
∴(?1)n?1?λ＜(

3

2

)n?1对任意的n∈N*恒成立．
当n=2k-1，k∈N*时，λ＜(

3

2

)2k?2对任意的k∈N*恒成立．
∴λ＜1
当n=2k，k∈N*时，λ＞?(

3

2

)2k?1对任意的k∈N*恒成立．
∴λ＞-

3

2

∴-

3

2

＜λ＜1，又∵λ≠0且λ∈Z
∴λ=-1．
∴存在整数λ=-1，使得对任意n∈N*有b_n+1＞b_n成立．