设3阶实对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=（1，-1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向
设3阶实对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=（1，-1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．（...
设3阶实对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=（1，-1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．（1）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．（2）求矩阵B．
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（1）
由Aα1=α1得：A2α1=Aα1=α1，
进一步得：
A3α1=α1，A5α1=α1，
故：
Bα1＝(A5?4A3+E)α1=α1-4α1+α1=-2α1，
从而：α1是矩阵B属于特征值-2的特征向量，
因为：B=A5-4A3+E以及A的3个特征值分别为：λ1=1，λ2=2，λ3=-2，
所以：B的3个特征值为：μ1=-2，μ2=1，μ3=1．
设：α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，
又A为对称矩阵，得B也是对称矩阵，
因此α1与α2，α3正交，即：
α1Tα2＝0， α1Tα3＝0，
所以：α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
（1，-1，1）
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其基础解系为：
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故可取：α2＝
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即B的全部特征值的特征向量为：
k1
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（2）
令：P＝(α1，α2，α3)＝
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则：P?1BP＝
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得：
B=P
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