Question

已知函数f(x)＝x?1x，g(θ)＝sin2θ+2sinθ+cosθ+2(1?a)cos(θ?π4)+4?a(θ∈[0，π2])，（1）求证：f（

已知函数f(x)＝x?1x，g(θ)＝sin2θ+2sinθ+cosθ+2(1?a)cos(θ?π4)+4?a(θ∈[0，π2])，（1）求证：f（x）在区间（0，+∞）单调递增．（2）集合M＝{a|g(θ)＞0，θ∈[0，π2]}，N＝{a|f[g(θ)]≥0，θ∈[0，π2]}，求M∩N．

Answer 1

（1）由于函数f（x）=x-

1

x

，
∴求导数，得f′（x）=1+

1

x2

＞1，可得当x＞0时，f′（x）＞0，
因此，可得函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增．
（2）由题意，得f（x）≥0等价于x≥1或-1≤x＜0，
故g（θ）≥1恒成立，
由θ∈[0，

π

2

]，可得cos（θ-

π

4

）∈[

2

2

，1]．
设t＝sinθ+cosθ＝

2

cos(θ?

π

4

)∈[1，

2

]，
则g(θ)＝t2?1+

2

t

+(1?a)t+4?a，
∴g（θ）≥1，即t2?1+

2

t

+(1?a)t+4?a＝(t+1)(t+

2

t

?a)≥0…（*）
由于t+1≥2为正数，所以不等式（*）等价于t+

2

t

?a≥0
可得a≤t+

2

t

恒成立，即a≤（t+

2

t

）_min，
∵函数y=t+

2

t

在（0，

2

）上是增函数，在（

2

，+∞）上为减函数
∴当t=

2

时，t+

2

t

有最小值2

2

，因此a≤2

2

综上所述，满足集合M、N中的不等式都成立的实数a的取值范围为（-∞，2

2

]，即M∩N=（-∞，2

2

]．