Question

求矩阵 A= （3 4） 的特征值与特征向量。 （5 2）

求下列矩阵的特征值与特征向量
1.A=[3 4;5 2]. 2.A[1 2 2;2 1 2;2 2 1]

Answer 1

1、设矩阵A的特征值为λ
那么|A-λE|=
3-λ 4
5 2-λ=λ²-5λ-14=(λ-7)(λ+2)=0
解得λ=7或 -2
于是A-7E=
-4 4
5 -5 r1/-4,r2-5r1
~
1 -1
0 0，得到特征向量(1,1)^T
而A+2E=
5 4
5 4 r2-r1
~
5 4
0 0，得到特征向量(-4,5)^T
2、|A-λE|=
1-λ 2 2
2 1-λ 2
2 2 1-λ r1+r2,r1+r3,r3-r2
=
5-λ 5-λ 5-λ
2 1-λ 2
0 1+λ -1-λ 第一行提取5-λ，第三行提取1+λ
=
1 1 1
2 1-λ 2
0 1 -1 *(5-λ)(1+λ) c2+c3
=
1 2 1
2 3-λ 2
0 0 -1 *(5-λ)(1+λ)=(5-λ)(1+λ)²=0
解得λ= -1，-1，5
于是A+E=
2 2 2
2 2 2
2 2 2 r3-r1，r2-r1

~
1 1 1
0 0 0
0 0 0，得到特征向量(1,-1,0)^T，(1,0,-1)^T
A-5E=
-4 2 2
2 -4 2
2 2 -4 r1+r2,r1+r3,r3-r2
~
0 0 0
2 -4 2

0 6 6 r2/2,r3/6,r2+2r3，交换行次序
~
1 0 3
0 1 1
0 0 0，得到特征向量(-3,1,1)^T