Question

如图所示，在平面直角坐标系中有点A（-1，0），点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点 C．（1）

如图所示，在平面直角坐标系中有点A（-1，0），点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点 C．（1）求点C的坐标；（2）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D，使四边形BOCD为直角梯形，求直线BD的解析式；（4）设点M是抛物线上任意一点，过点M作MN⊥y轴，交y轴于点N．若在线段AB上有且只有一点P，使∠MPN为直角，求点M的坐标．

Answer 1

（1）C点的坐标为（0，2）；理由如下： 如图，连接AC，CB．依相交弦定理的推论可得OC 2 =OA?OB， 解得OC=2． 故C点的坐标为（0，2）． （2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4）． 把点C（0，2）的坐标代入上式得a=- 1 2 ． ∴抛物线解析式是y=- 1 2 x 2 + 3 2 x+2． （3）如图，过点C作CD ∥ OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形． 由（2）知抛物线的对称轴是x= 3 2 ， ∴点D的坐标为（3，2）． 设过点B，点D的解析式是y=kx+b． 把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得 4k+b=0 3k+b=2 解之得 k=-2 b=8 ∴直线BD的解析式是y=-2x+8． （4）依题意可知，以MN为直径的半圆与线段AB相切于点P． 设点M的坐标为（m，n）． ①当点M在第一或第三象限时，m=2n． 把点M的坐标（2n，n）代入抛物线的解析式得n 2 -n-1=0， 解之得n= 1± 5 2 ． ∴点M的坐标是（1+ 5 ， 1+ 5 2 ）或（1- 5 ， 1- 5 2 ）． ②当点M在第二或第四象限时，m=-2n． 把点M的坐标（-2n，n）代入抛物线的解析式得n 2 +2n-1=0， 解之得 n=-1± 2 ． ∴点M的坐标是（2-2 2 ，-1+ 2 ）或（2+2 2 ，-1- 2 ）． 综上，满足条件的点M的坐标是（1+ 5 ， 1+ 5 2 ），（1- 5 ， 1- 5 2 ）， （2-2 2 ，-1+ 2 ），（2+2 2 ，-1- 2 ）．