Question

如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方

如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm．（1）底面的长AB=______cm，宽BC=______cm（用含x的代数式表示）（2）当做成盒子的底面积为300cm 2 时，求该盒子的容积．（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，在铁片的四个角截去四个相同的小正方形， 设小正方形的边长为xcm， ∴底面的长AB=（50-2x）cm，宽BC=（30-2x）cm， 故答案为：50-2x，30-2x； （2）依题意，得： （50-2x）（30-2x）=300 整理，得：x 2 -40x+300=0 解得：x 1 =10，x 2 =30（不符合题意，舍去） 当x 1 =10时，盒子容积=（50-20）（30-20）×10=3000（cm 3 ）； （3）盒子的侧面积为： S=2x（50-2x）+2x（30-2x） =100x-4x 2 +60x-4x 2 =-8x 2 +160x=-8（x 2 -20x） =-8[（x-10） 2 -100] =-8（x-10） 2 +800 ∵-8（x-10） 2 ≤0， ∴-8（x-10） 2 +800≤800， ∴当x=10时，S有最大值，最大值为800．