Question

证明以下命题：(Ⅰ)对任一正整数a，都存在正整数b，c(b＜c)，使得a 2 ，b 2 ，c 2 成等差数列；(Ⅱ)存在

证明以下命题：(Ⅰ)对任一正整数a，都存在正整数b，c(b＜c)，使得a 2 ，b 2 ，c 2 成等差数列；(Ⅱ)存在无穷多个互不相似的三角形△ n ，其边长a n ，b n ，c n 为正整数且a n 2 ，b n 2 ，c n 2 成等差数列。

Answer 1

证明：(Ⅰ)易知1 2 ，5 2 ，7 2 成等差数列，则a 2 ，(5a) 2 ，(7a) 2 也成等差数列， 所以对任一正整数a，都存在正整数b=5a，c=7a(b＜c)，使得a 2 ，b 2 ，c 2 成等差数列． (Ⅱ)若a n 2 ，b n 2 ，c n 2 成等差数列，则有b n 2 -a n 2 =c n 2 -b n 2 ， 即(b n -a n )(b n +a n )=(c n -b n )(c n +b n )， ① 选取关于n的一个多项式，例如4n(n 2 -1)，使得它可按两种方式分解因式， 由于4n（n 2 -1）=(2n-2)(2n 2 +2n)=(2n+2)(2n 2 -2n)， 因此令 ， 可得 ， 易验证a n ，b n ，c n 满足①，因此a n 2 ，b n 2 ，c n 2 成等差数列， 当n≥4时，有a n ＜b n ＜c n 且a n +b n -c n =n 2 -4n+1＞0， 因此以a n ，b n ，c n 为边长可以构成三角形，将此三角形记为△ n (n≥4)． 其次，任取正整数m，n（m，n≥4，且m≠n），假若三角形△ m 与△ n 相似， 则有 ， 据比例性质有 ， ， 所以 ，由此可得m=n，与假设m≠n矛盾， 即任两个三角形△ m 与△ n (m，n≥4，m≠n)互不相似； 所以存在无穷多个互不相似的三角形△ n ，其边长a n ，b n ，c n 为正整数且a n 2 ，b n 2 ，c n 2 成等差数列。