Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M、N．设点M的坐标为（0，t），△EFG的面积为S．（1）求S与t的函数关系式；（2）当△EFG为直角三角形时，求t的值；（3）当点G关于直线EF的对称点G′恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接写出t的值．

Answer 1

（1）①当0＜t＜3时，如图1，过E作EH⊥CA于H，

∵A（4，0），B（4，3），C（0，3），
∴OA=4，OC=3，AC=5，
∵MN∥CA，
∴△OEF∽△OCA，
∴OE：OC=EF：CA，即t：3=EF：5，
∴EF=

5

3

t，
∵EH⊥CA，
∴∠ECH=∠OCA，
∴sin∠ECH=sin∠OCA，
∴EG：EC=OA：CA，
即EH：（3-t）=4：5，
∴EH=

4

5

（3-t），
∴S=

1

2

×EF×HE=

1

2

×

5

3

t×

4

5

（3-t）=-

2

3

t²+2t；
②当3＜t＜6时，如图2，过C作CH⊥MN于H，则MC=t-3，

∵CH⊥MN，∴∠CMH=∠OCA，∴sin∠CMH=sin∠OCA，
∴CH：MC=OA：CA，即CH：（t-3）=4：5，
∴CH=

4

5

（t-3），
易求直线AC解析式为：y=-

3

4

x，
∵MN∥CA，
∴直线MN的解析式为：y=-

3

4

x+t，
令y=3，可得3=-

3

4

x+t，解得x=

4

3

（t-3）=

4

3

t-4，
∴E（

4

3

t-4，3），
在y=-

3

4

x+t中，令x=4可得：y=t-3，∴F（4，t-3），
∴EF=

( 4 3 t?4?4)2+(3?t+3)2

=

5

3

（6-t），
S=

1

2

×EF×GH=

1

2

×

5

3

（t-3）=-

2

3

t²+6t-12；
综上可知S=

? 2 3 t2+2t(0＜t＜3) ? 2 3 t2+6t?12(3＜t＜6)

；
（2）①当0＜t＜3时，E（0，t），F（

4

3

t，0），G（2，

3

2

），
∴EF²=

25

9

t²，EG²=2²+（t-

3

2

）²，GF²=（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²，
若EF²+EG²=GF²，则有

25

9

t²+2²+（t-

3

2

）²=（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²，解得t=0（舍去），t=-

7

3

（舍去），
若EF²+FG²=EG²，则有

25

9

t²+（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²=2²+（t-

3

2

）²，解得t=0（舍去），t=

21

32

，
若EG²+GF²=EF²，则有2²+（t-

3

2

）²+（

4

3

t-2）²+（

3

2

）²=

25

9

t²，解得t=

3

2

，
②当3＜t＜6时，E（

4

3

t-4，3），F（4，t-3），G（2，

3

2

），
∴EF²=（

4

3

t-8）²+（t-6）²，EG²=（

4

3

t-6）²+（

3

2

）²，GF²=2²+（t-

9

2

）²，
若EF²+EG²=GF²，则有（

4

3

t-8）²+（t-6）²+（

4

3

t-6）²+（

3

2

）²=2²+（t-

9

2

）²，整理得32t²-363t+1026=0，△=441，解得t=

171

32

，t=6（舍去），
若EF²+FG²=EG²，则有（

4

3

t-8）²+（t-6）²+2²+（t-

9

2

）²=（

4

3

t-6）²+（

3

2

）²，整理得6t²