Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面AB1C；（Ⅲ）求三棱锥D-A1AC的体积．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，连结AC₁交A₁C于G，连结DG
因为AC=BC=BB₁=2，
所以四边形A₁C₁CA、BCC₁B₁为正方形．
所以G为AC₁中点．
在△ABC₁中，因为D为AB的中点，
所以BC₁∥DG．
因为DG?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
所以CC₁⊥平面ABC．
因为AC?平面ABC，
所以CC₁⊥AC．
又AC⊥BC，CC₁∩BC=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁．
因为BC₁?平面BCC₁B₁，
所以BC₁⊥AC．
因为BB₁C₁C是正方形，
所以BC₁⊥B₁C．
又B₁C∩AC=C，
所以BC₁⊥平面AB₁C．
（Ⅲ）因为△ABC为等腰直角三角形，
所以S△ACD＝

1

2

AD?CD＝

1

2

×

2

×

2

＝1．
因为AA₁⊥平面ABC，
所以VD?A1AC＝VA1?ADC＝

1

3

?AA1?S△ACD＝

1

3

×2×1＝

2

3

．