Question

设二次函数f(x)二x^2-2(2ⅹ-3)sinθ一3(Cosθ)^2-2，0≤θ<2π，试求

f(x)图象中，顶点最低的那个顶点的坐标和对应的θ的值。_

Answer 1

f(x)=x²-4(sinθ)x+6sinθ-3cos²θ-2=(x-2sinθ)²-4sin²θ+6sinθ-3cos²θ-2=(x-2sinθ)²-sin²θ+6sinθ-5。
∴f(x)的顶点坐标为(2sinθ,-sin²θ+6sinθ-5)。故，2sinθ=-1时，是f(x)顶点的最低点。此时，θ=3π/2，顶点坐标为(-1,-33/4)。

追问

要使顶点位置最低只有sin⊙二一1时y最小才能取得，从而x二2sin⊙二一2，代入y的式子得y二一12

Answer 2

f(x)=x²-2(2x-3)sinθ-3(cosθ)²-2
=x²-4sinθ·x+6sinθ-3(1-sin²θ)-2
=(x²-4sinθ·x+4sin²θ)-4sin²θ+6sinθ-3+3sin²θ-2
=(x-2sinθ)²-sin²θ+6sinθ-5
此二次函数中a=1＞0，开口向上，对称轴为x=2sinθ
其顶点为(2sinθ,-sin²θ+6sinθ-5)
顶点纵坐标y=-sin²θ+6sinθ-5=-(sin²θ-6sinθ+9)+4=-(sinθ-3)²+4
那么，当sinθ=-1，即θ=3π/2时，y有最小值=-12
即，在该二次函数所有顶点中，当θ=3π/2时有最低顶点(-2,-12)

Answer 3

f(x)=x²-4(sinθ)x+6sinθ-3cos²θ-2=(x-2sinθ)²-4sin²θ+6sinθ-3cos²θ-2=(x-2sinθ)²-sin²θ+6sinθ-5。∴f(x)的顶点坐标为(2sinθ,-sin²θ+6sinθ-5)。故，2sinθ=-1时，是f(x)顶点的最低点。此时，θ=3π/2，顶点坐标为(-1,-33/4)。

f(x)=x²-2(2x-3)sinθ-3(cosθ)²-2=x²-4sinθ·x+6sinθ-3(1-sin²θ)-2=(x²-4sinθ·x+4sin²θ)-4sin²θ+6sinθ-3+3sin²θ-2=(x-2sinθ)²-sin²θ+6sinθ-5此二次函数中a=1＞0，开口向上，对称轴为x=2sinθ其顶点为(2sinθ,-sin²θ+6sinθ-5)顶点纵坐标y=-sin²θ+6sinθ-5=-(sin²θ-6sinθ+9)+4=-(sinθ-3)²+4那么，当sinθ=-1，即θ=3π/2时，y有最小值=-12即，在该二次函数所有顶点中，当θ=3π/2时有最低顶点(-2,-12)