Question

在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B在直线l：x=-1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分

在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B在直线l：x=-1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）过（1）中的轨迹E上的定点P（x0，y0）（y0＞0）作两条直线分别与轨迹E相交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点．试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）设点M的坐标为（x，y），由题设知，|MB|=|MA|．
所以动点M的轨迹E是以A（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，
所以其方程为y²=2x；
（2）由题意，设PC：x=my+b，代入（x₀，y₀），可得b=x₀-my₀，所以x=my+x₀-my₀，代入y²=2x，可得y²=2（my+x₀-my₀），即y²-2my-2x₀+2my₀=0，
∴y₀+y₁=2m，∴y₁=2m-y₀，
同理，设PD：x=-my+n，代入（x₀，y₀），可得n=x₀+my₀，所以x=-my+x₀+my₀，代入y²=2x，可得y²=2（-my+x₀+my₀），即y²+2my-2x₀-2my₀=0，
∴y₀+y₂=2m，∴y₂=-2m-y₀，
又k_CD=

y2?y1

x2?x1

=

2

y1+y2

=

2

2m?y0?2m?y0

=-

1

y0

，∴直线CD的斜率是定值．